Neste post abordamos sobre a parte aplicada, onde mostramos as equações obtidas no lançamento oblíquo do projétil, neste caso, o foguete de garrafa PET. Todas as equações e cálculos levam em consideração que foi desprezado a resistência do ar, portanto não serão extremamente precisos por causa desta consideração. Entretanto, os resultados reais variam minimamente.
Abaixo mostramos primeiramente as equações com o lançamento situado em 45°. Falamos também como obtivemos as equações juntamente com os valores conseguidos pelo software, e demais explicações.
Consideramos g = 9,80665 m/s², além de outros valores até a 5° casa decimal.
Lançamento em 45°
Dados fornecidos pelo software
Deslocamento horizontal = 46m
Altura máxima = 9,4m
Tempo total = 3s
Direção vertical
Consideramos que:
- Movimento uniformemente variável (MUV)
- O início do movimento em seu ponto de lançamento, S₀ = 0
- A velocidade vertical final igual a zero, V = 0
- Sentido positivo para cima
- Desprezamos a resistência do ar
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| Figura 1 |
t = tempo (s), V₀y = velocidade inicial em y (m/s), g = aceleração da gravidade (m/s²)
1,5 = V₀y / 9,80665
V₀y = 14,70997 m/s
Com a velocidade inicial em y obtida, podemos obter as demais equações. Utilizamos o sinal de menos pois o lançamento ocorreu em sentido positivo, sentindo efeito da gravidade, ou seja, para cima.
Posição vertical em função do tempo
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| Figura 2 |
Sy(t) = posição em determinado instante após o lançamento(m)
Portanto a equação será
Sy(t) = 14,70997*t- (9,80665*t²/2)
Velocidade vertical em função do tempo
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| Figura 3 |
Vy(t) = velocidade em y após um determinado tempo após o lançamento (m/s)
Temos a equação
Vy(t) = 14,70997 - 9,80665*t
Vale se destacar também a equação da altura máxima, pois acaba-se tendo uma diferença de 1,63248m da que obtemos no software, porém podemos relevar isto como uma margem de erro.
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| Figura 4 |
h = altura(m)
h = 14,70997² / 2*9,80665
h = 11,03248m
Direção horizontal
Consideramos
- Movimento uniforme (MU)
- Velocidade constante
- Sem aceleração
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| Figura 5 |
46 = V₀x*3
V₀x ≌ 15,33333 m/s
Velocidade em função do tempo
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| Figura 6 |
Como a velocidade é constante, então a velocidade em qualquer ponto será igual a velocidade inicial.
V(t) = 15,33333 m/s
Posição horizontal em função do tempo
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| Figura 7 |
Sx(t) = 15,33333*t
Movimento oblíquo em função do ângulo
O lançamento oblíquo ou de projétil é um movimento realizado por um objeto que é lançado na diagonal.
Esse tipo de movimento realiza uma trajetória parabólica, unindo movimentos na vertical (sobe e desce) e na horizontal. Assim, o objeto arremessado forma um ângulo (θ) entre 0° e 90° em relação a horizontal.
A seguir mostramos as equações em função do ângulo de lançamento. O resultado obtido pelas equações apresentadas anteriormente irá condizer com estas, portanto servirá de comprovação. Temos de ressaltar que terá o maior alcance em um ângulo de 45°, o qual será explicado posteriormente.
Antes de encontrar as equações, teremos de descobrir a velocidade inicial (V₀). Onde utilizamos o componente horizontal ou vertical da velocidade para determinar.
Componente horizontal da velocidade
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| Figura 8 |
V₀ = velocidade inicial(m/s), θ = ângulo de lançamento(Graus)
Componente vertical da velocidade
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| Figura 9 |
Substituindo no componente vertical, encontramos o valor da velocidade inicial.
14,70997 = V₀*sen(45°)
V₀ = 20,80303 m/s
Tempo de subida em função do ângulo
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| Figura 10 |
Ts = (20,80303*sen(45°)) / 9,80665
Ts ≌ 1,5s
Altura máxima em função do ângulo
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| Figura 11 |
h = (20,80303²*sen²(45°)) / 2*9,80665
h ≌ 11,03248m
Alcance horizontal em função do ângulo
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| Figura 12 |
a = alcance(m)
a = (20,80303*sen(2*45°)) / 9,80665
a ≌ 44,12985m
Aqui vale se notar que houve uma diferença de 1,87015m, porém como já explicado anteriormente, isto é uma margem de erro.
A partir desta fórmula conseguimos explicar que o ângulo de maior alcance é 45°, pois estas grandezas dependem do seno do ângulo. Como a função seno varia de -1 a 1, conclui-se que irá atingir o valor máximo quando o seno estiver em seu valor máximo, ou seja quando o seno for igual a 1, o que ocorre quando o ângulo for de 90°. Com isto concluímos que 2θ = 90° portanto θ = 45°.
Lançamento em 85°
Para o lançamento de 85° mostramos diretamente as equações obtidas, sem mostrar as fórmulas ou explicar, pois já foi realizado anteriormente.
Dados fornecidos pelo software
Deslocamento horizontal = 7,45m
Altura máxima = 8,15m
Tempo total = 4,7s
Direção vertical
2,35 = V₀y / 9,80665
V₀y = 23,04562m/s
Posição vertical em função do tempo
Sy(t) = 23,04562*t - (9,80665*t²/2)
Velocidade vertical em função do tempo
Vy(t) = 23,04562 - 9.80665*t
Altura máxima
h = 23,04562² / 2*9,80665
h = 27,07859m
Aqui acabamos tendo uma diferença particularmente grande, sendo de 18,92859m.
Direção horizontal
7,45 = V₀x*4,7
V₀x = 1,58510m/s
Velocidade em função do tempo
V(t) = 1,58510 m/s
Posição horizontal em função do tempo
Sx(t) = 1,58510*t
Movimento oblíquo em função do ângulo
23,04562 = V₀*sen(85°)
V₀ = 23,13365m/s
Tempo de subida em função do ângulo
Ts = (23,13365*sen(85°)) / 9,80665
Ts ≌ 2,35s
Altura máxima em função do ângulo
h = (23,13365²*sen²(85°)) / 2*9,80665
h ≌ 26,87290m
Aqui obtivemos uma pequena diferença sendo ela de 0,20569m, entretanto como já explicado anteriormente, esta é a margem de erro.
Alcance horizontal em função do ângulo
a = (23,04562²*sen(2*85°)) / 9,80665
a ≌ 9,40429m
Houve uma pequena diferença sendo de 1,95429m, sendo a margem de erro como já dito.
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